Isométrie

Définition

Définition :
Une isométrie $T$ est une application qui préserve les distances (i.e. $T(A)T(B)=AB$ pour touts points $A$, $B$)

(Fonction - Application, Distance)

Caractérisation

$f$ est une isométrie si et seulement si : $$d(A,B)=d(f(A),f(B))$$

(Distance)

Propriétés

Caractère injectif

Proposition :
Une isométrie est une application affine

(Fonction affine)

Exercices

tikz

\begindocument

\begintikzpicture

\draw (0,0) rectangle (4,4);

\draw (4,0) rectangle (6,2);

\draw (0,0) node[below left]\(A\);

\draw (4,0) node[below]\(B\);

\draw (6,0) node[below right]\(E\);

\draw (0,4) node[above left]\(D\);

\draw (4,4) node[above right]\(C\);

\draw (4,2) node[left]\(G\);

\draw (6,2) node[above right]\(F\);

\draw plot[domain=0:6] (\x, \x/2);

\draw plot[domain=3:6] (\x, -2*\x+12);

\endtikzpicture

\enddocument

Consigne: Soit $A^\prime B^\prime C^\prime$ un triangle
Montrer qu'il existe un triangle $ABC$, et un seul, tel que $A^\prime$ soit l'ilieu de $BC$, $B^\prime$ le milieu de $CA$ et $C^\prime$ le milieu de $AB$
Indiquer une construction géométrique de ce triangle

Analyse : images de points par les symétries (car les centres sont les milieux)
Soient $\alpha,\beta,\gamma$ les symétries centrales par $A^\prime$, $B^\prime$, $C^\prime$
Analyse : si $(A,B,C)$ est solution, alors $$\alpha(B)=C,\qquad \beta(C)=A,\qquad \gamma(A)=B$$

Synthèse : $B$ est le centre de la composition des trois symétries
Synthèse : si $B$ quelconque, on peut toujours poser $\alpha(B)=C$ et $\beta(C)=A$
$$(A,B,C)\text{ solution }\iff B=\gamma\circ\beta\circ\alpha(B)$$
Donc $B$ est le centre de $\gamma\circ\beta\circ\alpha$

Construction : on part d'une fausse solution pour obtenir la vraie

Construction : on construit $B_1=\gamma\circ\beta\circ\alpha(B_0)$ (avec $B_0$ quelconque)
$$B=\frac{B_1+B_0}2$$

(Triangle (Triangle des milieux))

Consigne: Montrer qu'une isométrie conserve le parallélisme et l'orthogonalité des droites

$f(\text{droite})=\text{droite}$
On sait que $f(\text{droite})=\text{droite}$ d'après la question précédente

Deux droites parallèles sont non sécantes ou égales
On a $$\begin{align} d//d^\prime&\iff d=d\quad\text{ ou }\quad d\cap d^\prime=\varnothing\\ &\iff f(d)=f(d^\prime)\quad\text{ ou }\quad f(d)\cap f(d^\prime)=\varnothing\quad\text{ car }\; f\text{ injective}\\ &\iff f(d)// f(d^\prime)\end{align}$$

Conditions pour $d\perp d^\prime$
On a $$\begin{align} d\perp d^\prime&\iff d\cap d^\prime=\{O\}&(\exists O)\end{align}$$ et si $A\in d,A^\prime\in d^\prime$, alors $$AA^{\prime2}=AO^2+OA^{\prime2}\qquad\text{(Pythagore)}$$

Utiliser l'injectivité de $f$ et on retrouve le théorème de Pythagore sur les images

$$\iff f(d)\cap f(d^\prime)=\{f(O)\}\quad\text{ car }\; f\text{ injective}$$ et si $f(A)\in f(d),f(A^\prime)\in f(d^\prime)$, alors on a encore le théorème de Pythagore et $f(d)\perp f(d^\prime)$

(Théorème de Pythagore)

Consigne: Montrer qu'une isométrie fixant un point s'écrit comme un produit d'au plus deux réflexions

Cas $f=\operatorname{Id}$ : produit de $0$ réflexions
Si $f(O)=O$
Si $f=\operatorname{Id}$, alors $f=S_{(OA)}\circ S_{(OA)}$ pour $A\ne O$ quelconque
Ou "$f$ est produit de $0$ réflexions"

Cas $f\ne\operatorname{Id}$ et existence d'un autre point fixe $\to$ produit d'une réflexion
Si $\exists A\ne O,f(A)=A$, alors $f$ est la réflexion $S_{(OA)}$ d'après une question précédente

Cas $f\ne\operatorname{Id}$ et non existence d'un autre point fixe $\to$ composer à une réflexion pour revenir à l'étape précédente
On choisit $A\ne O$, donc $f(A)\ne A$
La médiatrice $d$ de $[Af(A)]$ passe par $O$ car $OA=Of(A)$
Alors $g=S_d\circ f$ est une isométrie telle que $$g(O)=O,g(A)=A\implies g=S_{(OA)}$$ (d'après l'étape précédente)

Conclure avec une expression de $f$

Et comme $S_d\circ S_d=\operatorname{Id}$, $$\underbrace{S_d\circ g}_{\text{symétries}}=S_d\circ S_d\circ f=f$$

(Symétrie axiale - Réflexion)

Consigne: Montrer que toute isométrie est produit d'au plus trois réflexions

On procède selon le nrbe de points fixes $\to$ résumé des questions précédentes
Si $f$ quelconque, raisonnons sur le maximum $m$ de points non-alignés fixés par $f$
- Si $m\geqslant3$, alors $f=\operatorname{Id}$ et $\operatorname{Id}$ est un produit de $0$ réflexions
- Si $m=2$, alors $f$ est une réflexion
- Si $m=1$, alors $f$ est composée de deux réflexions
- Si $m=0$, on ne sait pas encore

Cas $m=0$ : composer avec une symétrie axiale

On choisit $A$. Par hypothèse, $f(A)\ne A$
Soit $d$ la médiatrice de $[Af(A)]$
Soit $g=S_d\circ f$
Alors $g(A)=A$
$$\implies f=S_d\circ \underbrace{g}_{\text{produit de }\leqslant2\text{ réflexions}}$$
donc $f$ est produit d'au plus $3$ réflexions